Замечали ли вы когда-нибудь, что незначительные детали могут привести к большим и неожиданным последствиям, порой досадным и непоправимым? Этот феномен уже давно описан учеными, и называется он по-научному теорией хаоса. Она лежит в основе математической концепции, посвященной сложным системам, поведение которых кажется случайным или непредсказуемым, хотя они подчиняются строгим правилам.
Прогноз погоды, взаимоотношения в социуме, наше здоровье… многое из того, что для нас жизненно важно, относится к числу таких систем. Кандидат физико-математических наук, автор и ведущий программы «Золотое сечение» студенческой телерадиокомпании «ЮУрГУ-ТВ» Игорь Клебанов посвятил свежий выпуск телепроекта теории хаоса. В чем ее суть, почему она всегда актуальна и при чем тут бабочка? Об этом наша сегодняшняя беседа.
Цена маленькой ошибки
— Давайте сразу расставим точки над i. О каком хаосе пойдет речь?
— Начиная со времен античности в науке, в философии, есть два фундаментальных понятия — космос и хаос. Космос — это упорядоченность и предсказуемость. Пример идеально упорядоченной системы — кристалл, где одна и та же структура повторяется периодически в пространстве. Могу точно сказать, в какой точке и что я увижу. Если процесс предсказуемо развивается во времени, то, задав какие-то начальные условия, я могу точно сказать, что будет и что было. Если я выстрелю из пушки, зная начальную координату и начальную скорость ядра, то точно скажу, по какой траектории оно полетит и куда попадет.
Это так называемые детерминированные системы. Но есть системы, поведение которых предсказать нельзя. Там действует случайный фактор. Например, когда мы рассматриваем движение молекул, их настолько много, что мы не можем проследить за каждой, а можем только рассчитать какие-то вероятности.
Существует и более интересный вид хаоса, о котором, собственно говоря, и пойдет речь. Это детерминированный хаос.
Попытаюсь пояснить, что это такое. Представим себе систему, которая по логике, по законам физики должна быть полностью предсказуема. Но, когда мы начинаем на основе детерминированных уравнений делать расчет этой системы, мы почему-то видим поведение сложное, похожее на хаотическое.
Детерминированному хаосу подвержены системы, в которых очень маленькая ошибка в начальных условиях может привести к очень большому различию в будущем поведении системы. Именно чувствительность к ошибке делает систему непредсказуемой. Хотя хаоса в прямом понимании этого слова здесь нет.
— А когда он начинается?
— Тогда, когда я хочу рассмотреть достаточно долгосрочное поведение системы. Приведу пример, с которого начался, собственно, научный подход к хаосу. Речь о работе метеоролога Лоренца, опубликованной в 60-е годы прошлого века.
Предыстория такова: Лоренц построил математическую модель, которая, по его мнению, должна была предсказывать погоду. Это была система из 12 дифференциальных уравнений. Потом Лоренц это число сократил до трех. Задав начальные условия, ученый рассчитал на компьютере поведение системы до определенного момента времени. А затем в качестве эксперимента решил перенести точку отсчета — и поведение системы оказалось совершенно иным.
Лоренц стал разбираться в ситуации. Выяснилось следующее: компьютер округлял все числа до трех знаков возле запятой. Ошибка, связанная с округлением, привела к тому, что система начала вести себя по-другому. Чувствительность к начальным условиям привела к хаосу, которому и посвящена наша беседа.
— Знаете, у меня порой складывается впечатление, что математические системы ведут себя как живые организмы...
— Если рассматривать ваши слова как метафору, я соглашусь. Но на самом деле математическая система, а точнее, модель математическая — это как раз неживой организм. Я бы сказал, что это достаточно жесткая схема, которая описывает некоторые черты живого организма. Но когда мы рассматриваем системы, поведение которых не можем прогнозировать на длительный срок, создается видимость живого организма. Вероятно, потому, что живой организм непредсказуем. Но истинную причину мы уже знаем — малая ошибка в начальных условиях или неучет каких-то очень малых внешних факторов могут привести к большим последствиям, качественно изменяющим поведение системы.
Лоренц выразил это эффектно. Допустим, на одном континенте бабочка взмахнула крылышками — это погрешность, которую она вносит в начальное состояние атмосферы. В результате на другом континенте мы наблюдаем торнадо. Это, конечно, всего лишь образное сравнение, но оно очень четко показывает, к чему может привести чувствительность к начальным условиям.
— …И эффект бабочки стал научным феноменом?
— Я бы сказал, что он стал общепринятой научной метафорой, потому что этот эффект мы наблюдаем во многих системах. Метеорология основана на гидродинамике атмосферы. С точки зрения математики это очень сложная система дифференциальных уравнений, которая описывает движение воздушных масс и движение воды в океанах. Здесь, как часто показывают расчеты, как раз эффект бабочки присутствует. Более того, Лоренц нашел эффект бабочки даже в упрощенной математической системе, которая всего лишь из трех уравнений состояла…
К слову, в гидродинамике существует явление под названием «турбулентность». Вот это и есть то самое хаотичное поведение жидкости, которое на самом деле обусловлено гиперчувствительностью к начальным условиям. Любая турбулентность — это вид детерминированного хаоса. Когда самолет попадает в зону турбулентности, мы чувствуем на себе всю прелесть хаотического поведения системы.
Окончание следует.